ALGEBRA LINEAL

 PLANTEAMIENTO  EJEMPLO Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 pesos cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 Kg. De acero y 3 Kg. de aluminio, y para la de montaña 2 Kg. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña deberá fabricar para maximizar las utilidades? Definición de variables X = Cantidad de bicicletas de paseo a producir. Y = Cantidad de bicicletas de montaña a producir. Restricciones X + 2Y <= 80 (Disponibilidad de acero) 3X + 2Y <= 120 (Disponibilidad de aluminio) X; Y >= 0 (Restricciones de NO negatividad) EJERCICIO Un autobús que hace el recorrido Cali-Buga, ofrece asientos para fumadores al precio de 10.000 pesos y a no fumadores al precio de 6.000 pesos. Al no fumador se le deja llevar 50 Kg. de peso y al fumador 20 Kg. Si el autobús tiene 90 asientos y admite un equipaje de hasta 3.000 Kg. ¿Cuál h...

MATRIZ INVERSA Propiedades de la matriz inversa  1     2     3     4    Para hallar la matriz inversa, ampliamos con una matriz identidad, y empezamos a afectar las filas hasta que la matriz identidad nos quede escalada y su matriz inversa será como quedo la matriz identidad. Ejemplo:  MATRIZ TRANSPUESTA  Es el resultado de reordenar la matriz original mediante el cambio de filas por columnas y las columnas por filas en una nueva matriz. Ejemplo:

  DETERMINANTES RANGO Y MENORES La matriz determinante de una matriz cuadrada AA [A] [A] es una herramienta clave en el algebra.   La matriz cuadrada de dimensión 2. calculamos el determinante restan el producto de los elementos de las diagonales:   REGLA DE SARRUS La matriz cuadrada de dimensión 3 . calculamos el determinante mediante la llamada regla de Sarrus. Una forma de aplicar la regla de Sarrus es escribir las tres columnas de la matriz seguidas de la primer y la segunda columna: Los elementos de las diagonales con flecha hacia abajo (azul) se multiplican y se suman; los de las otras diagonales (rojo) se multiplican y se restan: Ejemplo: Ejemplo: MATRIZ ADJUNTA Para sacar el adjunto de una matriz debemos seleccionar la posición y eliminarle la fila y la columna, ejemplo: REGLA DE LAPLACE A regla de Laplace factoriza la matriz inicial en matrices de menor dimensión y ajusta su signo en función de la posición del elemento en la matriz.  En esta regla esco...

¿Cómo afectar una fila? Para escalonar una matriz primero debo saber como afectar las filas.  - siempre coloco primero la fila que voy a afectar y después la operación  - por medio de operaciones busco un 1 en la posición (1,1) de ahí para abajo busco por medio de operaciones ceros en las posiciones, hasta llegar a una matriz escalonada.  Ejemplo Ejemplo

  MUTIPLICACIÓN DE MATRICES Para poder realizar la multiplicación de dos matrices se necesita que el numero de columnas de la primer matriz sea igual al numero de filas de la segunda matriz, y como resultado obtendremos una matriz del tamaño de las filas e la primer matriz y del tamaño de columnas de la segunda matriz. si la matiz cumple con esta condición, seguimos, multiplicamos la primer fila de la primer matriz por la primera columna de la segunda matriz y nos dará la posición (1,1), si multiplicamos la primer fila de la primer matriz por la segunda columna de la segunda matriz nos dará la posición (1,2)... Así sucesivamente.  Ahora, ¿ Como se multiplica? multiplicamos cada elemento de cada la fila y de cada columna en orden y sus respectivos resultados los sumamos y obtenemos la posición (1,1), volvemos y repetimos el proceso con todas las posiciones. Ejemplo: Ejemplo: Propiedades de la Multiplicación de Matrices     1. Propiedad Conmutativa:  AB no es igu...

COMO MULRIPLICAR POR UN ESCALAR  Consiste en multiplicar toda la matriz por un numero dado. E jemplo: Propiedades de un Escalar K y L = Escalares                       A y B= Matrices 1 . K(A+B) = K(A) + K(B) 2 . (K+L)A = k(A) + L(A) 3 . KL(A) = K(LA) 4 . 1A = A  5 . Si A es una matriz cuadrada ( 3x3, 4x4, 8x8) entonces   Tr (KA) =  K (Tr(A))

 SUMA Y RESTA DE MATRICES Suma de Matrices Debemos saber que para poder sumar  matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas y como resultado me debe dar una matriz del mismo tamaño. Es decir, si una matriz es de orden 4x2 y otra de 5x5, no se pueden sumar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices. Ejemplo Propiedades de las Matrices Suma 1. Asociativa: (A+B)+C  =  A+(B+C) 2. Existencialidad:  si la matriz es 0 entonces  A+0=A 3. Existencialidad Opuesta: existe matriz A y matriz -A                                                A=a(i,j)                                                  -A=-a(i,j)...

MATRICES Una matriz es un conjunto de elementos formada por filas y columnas, llamada por una letra mayúscula. I:  Filas                                         M:  Filas J:   Columnas                                N:  Columnas       La traza de la matriz:  es la suma de la diagonal principal de la matriz       Igualdad de matrices: se da cuando las matrices son iguales de tamaño y sus elementos están ordenamos iguales                TIPOS DE MATRICES 1.      MATRIZ FILA : Una matriz fila está constituida por una sola fila.   2.      MATRIZ COLUMNA: La matriz columna tiene una sola columna 3.      MATRIZ RECTANGUL...