ALGEBRA LINEAL

 COMBINACIONES LINEALES Una  combinación lineal  de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por algunos escalares. Es decir, una combinación lineal es una expresión de la forma:     Para ser una combinación lineal el sistema debe tener una única solución  EJEMPLO   EJEMPLO 2 Dados los siguientes vectores: Expresa el vector u como combinación lineal de v y w. Solución Empezamos sustituyendo los vectores por sus coordenadas: Multiplicamos cada coeficiente por las coordenadas de los vectores en el segundo miembro: Operamos en cada una de las coordenadas: Y por último igualamos coordenadas en ambos miembros, dando lugar al siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: La solución de este sistema de ecuaciones es: Por lo que el vector v expresado como combinación lineal de u y v queda de la siguiente forma: EJEMPLO

 MULTIPLICACION DE VECTORES PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION POR UN ESCALAR Asociativa: β (α v) = ( β α ) v  Distributivas: ƒ Respecto de la suma de escalares: (α + β ) v = α v + β v ƒ Respecto de la suma de vectores: α (u + v) = α u +α v  Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1· v = v para cualquier vector v. FORMULA  vector u ( x1 + y2) vector v (x2 + y2) Cvector u = ( Cx1, C x2) EJEMPLO  Vector V ( -1, 1 ) -2vector V (-2, 2 )

 SUMA DE VECTORES  PROPIEDADES DE LA SUMA DE VECTORES  Asociativa: (u+v)+w = u+(v+w)  Conmutativa: v+u=u+v.  Existe un elemento neutro, el vector 0 , tal que + v = v para cualquier vector v. K 0 K  Para cada vector v existe un elemento opuesto, –v, que sumado con él da 0 .  FORMULA vector u ( x1 + y2) vector v (x2 + y2) vector u + vector v = ( x1+x2,  y1+y2) EJEMPLO  Vector A =  ( 4,2 ) Vector B = ( -3,-2) Vector A + Vector B = ( 1,0 )  EJEMPLO 

 ESPACIOS VECTORIALES  LOS ESPACIOS VECTORALES   Conjunto no vacío de objeto  Se define una suma de objetos  Se define una multiplicación por un escalar  MAGNITUDES  Todas las propiedades que se puedan medir y pueden ser estudiadas en las ciencias experimentales  para cada magnitud se define una unidad y sus medidas estarán dadas por un numero EJEMPLOS  Vectores Puntos  formula para suma puntos (-A +B )

  METODO DE CRAMER La regla de Cramer proporciona la solución de sistemas de ecuaciones lineales  compatibles determinados  (con una única solución) mediante el cálculo de determinantes. Se trata de un método muy rápido para resolver sistemas, sobre todo, para sistemas de dimensión 2x2 y 3x3. Para dimensiones mayores, los determinantes son bastante más engorrosos. PASOS PARA RESOLVER EL SISTEMA DE ECUACIONES POR MEDIO DE CRAMER:  Debemos sacar el determinante de la matriz que llamaremos delta  Para sacar el valor de x reemplazamos por los resultados de las ecuaciones, sacamos el determinante y dividimos el delta por el determinante de la matriz x Para sacar el valor de y reemplazamos por los resultados de las  ecuaciones, sacamos el determinante y dividimos el delta por el determinante de la matriz y Para sacar el valor de z reemplazamos por los resultados de las  ecuaciones, sacamos el determinante y dividimos el delta por el determinante de la matriz...